張益唐攻克朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的論文，來了！

111頁論文，滿滿當(dāng)當(dāng)全是表達(dá)式。

論文釋出之前，張益唐證明這一黎曼猜想相關(guān)問題的消息，早已震動(dòng)數(shù)學(xué)界。

(資料圖片僅供參考)

就有專家教授表示：

張益唐要是能把Landau-Siegel做出來，就相當(dāng)于一個(gè)人被閃電擊中兩次。

而張益唐自己也說，攻克朗道-西格爾零點(diǎn)就像是大海撈針。

整個(gè)過程我把海底的情況都摸清楚了，后來發(fā)現(xiàn)不用這根針，我也能把它做出來。

關(guān)于這項(xiàng)成果的意義，張益唐則認(rèn)為：

比孿生素?cái)?shù)猜想的意義更大，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想有點(diǎn)像黎曼猜想那樣，它一解決，一百個(gè)猜想都變成定理了。

完整論文，我們文末奉上。

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

所謂朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，簡(jiǎn)單來說就是黎曼猜想的某種弱形式。

核心要回答的一個(gè)問題就是：是否存在一個(gè)叫做朗道-西格爾零點(diǎn)的東西。

首先我們?cè)O(shè)實(shí)數(shù)σ，t和復(fù)數(shù)s=σ+it。

根據(jù)知乎博主“TravorLZH”的介紹，十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家為了研究素?cái)?shù)分布引入了黎曼猜想。

而為了研究等差數(shù)列上的素?cái)?shù)分布，數(shù)學(xué)家Dirichlet引入了L函數(shù)。

再后來，數(shù)學(xué)家也發(fā)展出了對(duì)應(yīng)的解析工具來說明L函數(shù)在σ=1時(shí)無零點(diǎn)，從而證明了等差數(shù)列上的素?cái)?shù)定理：

但對(duì)于上面的公式，數(shù)學(xué)家們依舊是不滿意，他們還要繼續(xù)縮減L函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的存在區(qū)域。

于是前人證明了L函數(shù)的非平凡零點(diǎn)基本上都能落在類似于下面公式中的沙漏型的區(qū)域：

如果L函數(shù)所有的非平凡零點(diǎn)都落在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，就可以得到帶余項(xiàng)的等差數(shù)列素?cái)?shù)定理。

可惜的是，數(shù)學(xué)家Edmund Landau發(fā)現(xiàn)當(dāng)X滿足特殊性質(zhì)時(shí)其對(duì)應(yīng)的L函數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)落在上面公式之外的異常零點(diǎn)（exceptional zero）。

但幸運(yùn)的是，Landau證明了對(duì)于每個(gè)這樣的L函數(shù)，若下面區(qū)域中存在異常零點(diǎn)，則這樣的零點(diǎn)只可能出現(xiàn)一個(gè)，而且階數(shù)也恰好只能是一。

后來Walfisz利用這個(gè)更弱的非零區(qū)域得到了一個(gè)妥協(xié)版的等差數(shù)列素?cái)?shù)定理：

很明顯，這個(gè)公式的限制條件要多了許多，所以大家當(dāng)然希望L函數(shù)能夠沒有異常零點(diǎn)。

由于Landau和Siegel兩位數(shù)學(xué)家在L函數(shù)異常零點(diǎn)這個(gè)領(lǐng)域里做了開創(chuàng)性的工作，所以異常零點(diǎn)也常常被稱為L(zhǎng)andau-Siegel零點(diǎn)。

而斷言L函數(shù)沒有異常零點(diǎn)的猜測(cè)就被稱為L(zhǎng)andau-Siegel猜想。

整體來看，其實(shí)廣義黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分條件。

但這一個(gè)世紀(jì)以來的研究表明Landau-Siegel問題可以比黎曼猜想還要難解決。

實(shí)際上，關(guān)于朗道-西格爾猜想，早在07年張益唐就曾在arXiv上發(fā)布一篇論文，但是里面的論證有些Bug。

有意思的是，在與北大校友交流時(shí)，張益唐透露，一開始，他并沒有很系統(tǒng)地去研究這個(gè)猜想。

但當(dāng)今年的新晉菲爾茲獎(jiǎng)得主詹姆斯·梅納德（James Maynard），2020年在他的基礎(chǔ)之上，把“孿生素?cái)?shù)猜想”的結(jié)果又改進(jìn)了一大步，張益唐心想：

我一定要做出一個(gè)更好的東西。

上面這則趣聞，出自北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會(huì)主辦的張益唐線上交流座談。

在其中，還有更多關(guān)于這位世界級(jí)數(shù)學(xué)家真實(shí)的一面。

在此，我們附上QA環(huán)節(jié)的部分文字整理：

主持人：研究和生活中覺得最困難的時(shí)候是如何堅(jiān)持下來的呢？

張益唐：如果是指2013年之前（張益唐在2013年證明孿生素?cái)?shù)猜想），那可能是我這人天性比較淡泊，我對(duì)生活要求很低，所以我也沒有太多的困難。

盡管看著別人掙錢多，也不能說沒有一點(diǎn)不平衡，但總的講我還是能坦然處之的。

就是我只要有錢能夠花，盡管弄得我太太不高興（全場(chǎng)大笑），但我還是不覺得太困難，我還是能夠堅(jiān)持下來。

主持人：您如何維持對(duì)一件事情的專注？

張益唐：這是一種習(xí)慣，某種程度我都覺得是不是我得了一種強(qiáng)迫癥。就說你想停都停不下來了。

比如朗道-西格爾零點(diǎn)問題。就是我剛才說大海撈針，最后我也覺得這個(gè)針大概是沒有了，撈不到了，可還是停不下來。

某種程度上，如果說你一旦真的是完全被吸引住的話，不用刻意怎么樣去維持，自然應(yīng)該就是能夠維持的。

主持人：平均每天花多長(zhǎng)時(shí)間思考數(shù)學(xué)問題？

張益唐：坦率講我一天至少思考12個(gè)小時(shí)以上。

因?yàn)槲铱梢圆粚?，不看書，我可以在走路，或者干別的什么事。但我可以一直想這個(gè)問題，所以實(shí)際上應(yīng)該是非常長(zhǎng)的。長(zhǎng)到連我太太都要罵我。

我順便提一下，就是當(dāng)我的結(jié)果快完成的時(shí)候，我?guī)缀跏敲刻焱砩献鰤?mèng)都在想這個(gè)。而且非常有意思，總覺得這一步還不對(duì)，還有問題，弄得挺煩惱，幾乎每天都是這樣。

主持人：您如何看待學(xué)術(shù)上的競(jìng)爭(zhēng)與合作，比如讀書時(shí)與同門之間的競(jìng)爭(zhēng)、畢業(yè)后與同行之間的競(jìng)爭(zhēng)。您是如何調(diào)整心態(tài)？

張益唐：我覺得競(jìng)爭(zhēng)是正常的。不要說在學(xué)術(shù)上，就說人有沒有心理不平衡的時(shí)候，這多少都會(huì)有的。

比如我最近遇到的一次，就是那個(gè)英國年輕數(shù)學(xué)家梅納德（詹姆斯·梅納德），他在孿生素?cái)?shù)這個(gè)問題下，一下把我給超過去了，而且超過了不少。

你說當(dāng)時(shí)我的心理是什么樣的？我也不管了，反正我已經(jīng)出名了。（全場(chǎng)大笑）

沒有。其實(shí)朗道-西格爾零點(diǎn)問題，我以前就開始在想了，但沒有那么系統(tǒng)地想。但就是這樣，我就下決心我一定還要做出一個(gè)更好的東西。

而在今天我敢說這句話，我已經(jīng)把它做成了。

主持人：關(guān)于數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的應(yīng)用化，張師兄怎么看？

張益唐：數(shù)學(xué)里頭很多東西都已經(jīng)被應(yīng)用，而且正在發(fā)現(xiàn)越來越多的應(yīng)用，特別在物理在工程上什么的。

即使有一些現(xiàn)在還沒有找到應(yīng)用的，比如像純粹的解析數(shù)論要解決的這些問題，我相信早晚也會(huì)發(fā)現(xiàn)它是能應(yīng)用的。但具體這個(gè)時(shí)間我還不能預(yù)測(cè)。

另外我們不能說因?yàn)檫@個(gè)東西現(xiàn)在暫時(shí)沒有應(yīng)用，或者找不到應(yīng)用，就輕視它。

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)科學(xué)的這個(gè)研究，它不僅將來會(huì)具有潛在的應(yīng)用，它也是衡量一個(gè)民族，一個(gè)國家，你的文化程度，你的發(fā)達(dá)程度，這一點(diǎn)是不能忽略的。

本文作者：量子位，文章來源：量子位，原文標(biāo)題：《張益唐111頁零點(diǎn)猜想論文出爐！自稱比孿生素?cái)?shù)猜想意義更大，每天思考12小時(shí)被太太罵》，華爾街見聞?dòng)兴鶆h減。

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關(guān)鍵詞： 孿生素?cái)?shù)猜想 等差數(shù)列 素?cái)?shù)定理